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用乘法原理和加法原理解圆形排列

[日期:2011-05-05] 来源:ChaseDream论坛 作者:zhaojungao [字体: ]

本文是对“[原创]linlin的圆形排列和条形排列总结!”一帖的个人见解。

序言:

由于乘法原理和加法原理是排列组合的基本原理,P和C两个公式只是这两个原理的特殊应用,所以很多题目与其去套P和C的公式,还不如直接用这两个原理来的直接简便。

一、解释一下规律

“先写规律:环形排列与直线排列相比,就相当于少了一个元素。所以可以先求直线排列,再求圆形排列。”

用乘法原理来解释一下这个规律:

比如:原贴中例二,五个人站成一个圈,有几种排列方式?
解:(5个人站位,完成这个事情要五个步骤)
第一步:第一个人站位,1种(因为圆的旋转对称性,第一个人站到哪里都是一样的)
第二步:第二个人站位,4种(由于有了第一个人的存在,就不是旋转对称了)
第三步:第三个人站位,3种
第四步:第四个人站位,2种
第五步:第五个人站位,1种
总共的方法=1X4X3X2X1=P(4,4)

从上面的过程来看,其实是结果恰好等于P(4,4),意思上是有所不同的。

二、各个例题解题过程

例一、在已有5个钥匙的钥匙环中放入2个钥匙,这2个钥匙相邻的概率?
解:1)先求总方法数(即5个钥匙放入2个钥匙的总排列)
第一步,放入第一把钥匙,5种
第二步,放入第二把钥匙,6种
总方法数=5X6=30
2)再求两个钥匙相邻的方法数
第一步,2个钥匙绑定,2种
第二步,2个钥匙放入5把钥匙中,5种
方法数:2X5=10
3)概率=10/30=1/3

例二、五个人站成一个圈的那道题:利用规律很容易得p(4,4)
解:这个上面解释规律的时候已经写了

例三、5个点(其中有一红点)排成一个圆圈,5个人A、B、C、D、E,其中A必须站在红点上,问有多少种不同的站法
解:第一步:A站红点,1种
第二步:第二个人站位,4种

第三步:第三个人站位,3种

第四步:第四个人站位,2种

第五步:第五个人站位,1种
总共的方法=1X4X3X2X1=P(4,4)

例四、6个盘子,一蓝5白,摆成一圈。五种坚果,其中有N和R,别的不知。如果N或R之一必须放在蓝盘子中,其他盘子各放一个坚果,共有几种摆法。
解:这里要先分类再分步,即先加法再乘法
第一类:N放蓝盘子
第一步:N放蓝盘子,1种
第二步到第六步:放其他坚果,5X4X3X2X1
总共方法数=1X5X4X3X2X1= P(5,5)
第一类:R放蓝盘子
第一步:N放蓝盘子,1种
第二步到第五步:放其他坚果,5X4X3X2X1
总共方法数=1X5X4X3X2X1= P(5,5)
总的方法数=第一类+第二类= P(5,5)+ P(5,5)=240

三、后记

我自己做排列组合和概率问题时,都是按照这个步骤做的。即:1)弄明白完成题设事件的过程;2)分类再分步(求概率的话就先求总方法数和题目特定条件的方法数,然后相除),过程中再合理利用P和C的公式。基本上没碰到什么难题,而且感觉干干净净的。

仅仅记某个规律(比如环形排列与直线排列相比,就相当于少了一个元素。所以可以先求直线排列,再求圆形排列),又对这个规律的界定条件理解不够透彻的话,碰到变体的题目容易弄错。

写出来供大家参考探讨。

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原文引自:
https://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-541576-1-1.html

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https://forum.chasedream.com/GMAT_Preparation/list-1.html

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