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关于求余数问题的一个简单方法-增强版

[日期:2010-08-01] 来源:ChaseDream论坛 作者:知之为之之 [字体: ]

个人建议:在您看这份文档的同时,准备一支笔,一张草稿纸。如果看到例题,跟我的步骤,一步一步地同时写下来,这样比光看屏幕,要理解得更快

我在自己的讨论稿文档里,求余的时候,都会用到 mod 这个运算符。
mod:模。意思就是求余数。
比如说:5 mod 3=2, 100 mod 11=1
读作:五模三余二,一百模十一余一

这是标准的公式化写法,大家可能不太熟悉,但是知道意思了,其实也很简单。引入Mod,主要是可以用数学公式来写,而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题,也比较容易表达。
在讲如何求余之前,先来普及一下余数的一些性质。

首先就是余数的加减法:比如说100除以7余2,36除以7余1。那么100+36除以7余几呢?或者100-36除以7余几呢?很显然,只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来,余数之间是可以加减的。
总结写成书面的公式的话,就是:(M+N) mod q=((M mod q)+(N mod q)) mod q

然后我们再看余数的乘法:我们继续来看上面这个例子,如果要求100*36除以7的余数是多少,该怎么求呢?
我们不妨来这样做:
100=98+2=7*14+2,36=35+1=7*5+1;
这时100*36=(7*14+2)(7*5+1)=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明显,100*36除以7的余数就等于2*1=2
于是我们可以得出这样的一个结论:求M*N除以q的余数,就等于M除以q的余数 乘以 N除以q的余数

类似的,如果是求N^m 除以q的余数呢?只要我们将N^m=N*N*N*...*N,也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘,一共m个,得出的结果再对q求余数,即可求出结果。

举例来说:求11^4除以9的余数。化成公式即是:11^4  mod 9=?
11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7

于是我们可以总结出这样的公式:
M*N mod q=(M mod q)*(N mod q) mod q
( M^n mod q = (M mod q)^n mod q )

那么,我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢?

As we all know,如果一个数乘以1,还是等于原数;而1的任意次方,还是等于1。
所以在解答这一类的问题的时候,只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式,结果显然会好算很多的。(或者-1,2之类的比较容易进行计算的数字都可以,因题而异。)

举例说明:求3^11除以8的余数。题目即是:3^11 mod 8=?
  3^11  mod 8
=3^10 * 3^1   (mod 8)
=(3^2)^5*(3^1)   (mod 8)
=9^5  *  3     (mod 8)
=(8+1)^5 *3   (mod 8)
=1^5 *3      (mod 8)
=3

发现没有,甚至没有去计算什么尾数的规律,答案就算出来了,而且只用了加减乘除。

那么再来看一道题目:求 (2^100)*(3^200) 除以7的余数

先化成计算公式:
 (2^100)*(3^200)         mod 7
=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)]   mod 7
=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7
=(8^33 * 2) * (27^66 * 9)      mod 7
=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9]  mod 7
=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9]      mod 7
=2*9                mod 7
=4

注意:如果余数有负号,就当做负数一样计算。

我步骤写得很详细,但其实只要是熟练了,基本上只要三四步答案一定就出来了,有没有觉得很简单呢?赶紧找一两题来练练手吧,甚至随便写几个数字来做做试试看,像我上面的例题都是临时编的。

相信只要练习了三四道题目,以后再碰到这样的余数题,就会 会心地一笑:小样,秒掉你!

我的语文不是太好,表达上可能有很多不清楚,但是大概就是这个意思,大家看看,讨论讨论...

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原文引自:
https://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-437516-1-3.html

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