用乘法原理和加法原理解圆形排列

序言：

由于乘法原理和加法原理是排列组合的基本原理，P和C两个公式只是这两个原理的特殊应用，所以很多题目与其去套P和C的公式，还不如直接用这两个原理来的直接简便。

一、解释一下规律

“先写规律：环形排列与直线排列相比，就相当于少了一个元素。所以可以先求直线排列，再求圆形排列。”

用乘法原理来解释一下这个规律：

比如：原贴中例二，五个人站成一个圈，有几种排列方式？
解：（5个人站位，完成这个事情要五个步骤）
第一步：第一个人站位，1种（因为圆的旋转对称性，第一个人站到哪里都是一样的）
第二步：第二个人站位，4种（由于有了第一个人的存在，就不是旋转对称了）
第三步：第三个人站位，3种
第四步：第四个人站位，2种
第五步：第五个人站位，1种
总共的方法=1X4X3X2X1=P（4,4）

从上面的过程来看，其实是结果恰好等于P（4,4），意思上是有所不同的。

二、各个例题解题过程

例一、在已有5个钥匙的钥匙环中放入2个钥匙,这2个钥匙相邻的概率？
解：1）先求总方法数（即5个钥匙放入2个钥匙的总排列）
第一步，放入第一把钥匙，5种
第二步，放入第二把钥匙，6种
总方法数=5X6=30
2）再求两个钥匙相邻的方法数
第一步，2个钥匙绑定，2种
第二步，2个钥匙放入5把钥匙中，5种
方法数：2X5=10
3）概率=10/30=1/3

例二、五个人站成一个圈的那道题：利用规律很容易得p(4,4)
解：这个上面解释规律的时候已经写了

例三、5个点（其中有一红点）排成一个圆圈，5个人A、B、C、D、E，其中A必须站在红点上，问有多少种不同的站法
解：第一步：A站红点，1种
第二步：第二个人站位，4种

第三步：第三个人站位，3种

第四步：第四个人站位，2种

第五步：第五个人站位，1种
总共的方法=1X4X3X2X1=P（4,4）

例四、6个盘子，一蓝5白，摆成一圈。五种坚果，其中有N和R，别的不知。如果N或R之一必须放在蓝盘子中，其他盘子各放一个坚果，共有几种摆法。
解：这里要先分类再分步，即先加法再乘法
第一类：N放蓝盘子
第一步：N放蓝盘子，1种
第二步到第六步：放其他坚果，5X4X3X2X1
总共方法数=1X5X4X3X2X1= P（5,5）
第一类：R放蓝盘子
第一步：N放蓝盘子，1种
第二步到第五步：放其他坚果，5X4X3X2X1
总共方法数=1X5X4X3X2X1= P（5,5）
总的方法数=第一类+第二类= P（5,5）+ P（5,5）=240

三、后记

我自己做排列组合和概率问题时，都是按照这个步骤做的。即：1）弄明白完成题设事件的过程；2）分类再分步（求概率的话就先求总方法数和题目特定条件的方法数，然后相除），过程中再合理利用P和C的公式。基本上没碰到什么难题，而且感觉干干净净的。

仅仅记某个规律（比如环形排列与直线排列相比，就相当于少了一个元素。所以可以先求直线排列，再求圆形排列），又对这个规律的界定条件理解不够透彻的话，碰到变体的题目容易弄错。

写出来供大家参考探讨。

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原文引自：
https://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-541576-1-1.html

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